Алгебра и геометрия

Последнее изменение: 19/02/2015 00:00:00

Основной курс для потока ФИ/ПИ первого курса. В осеннем семестре 2014/15 учебного года читался по понедельникам с 14:30 в ауд. 611, а по четным неделям - еще и по четвергам с 12:50 в ауд. 622.

Экзамен проходил в ауд. 605 с 9:00:

  • для группы ФИ-101 во вторник, 20.01.2015;
  • для группы ПИ-101 в среду, 21.01.2015.
Результаты экзаменов
Группа Отлично Хорошо Удовлетв. Неудовл. Не аттест. Всего
ФИ-101 12 4 6 6 2 30
ПИ-101   4 6 7 5 22
Поток 12 8 12 13 7 52


Результаты после двух пересдач
Группа Отлично Хорошо Удовлетв. Неудовл. Не аттест. Всего
ФИ-101     4 2 2 8
ПИ-101     5 1 6 12
Поток     9 3 8 20

Краткое содержание курса

  • Матрицы и определители
    • Действия над матрицами - сложение, транспонирование, умножение. Свойства действий.
    • Определитель квадратной матрицы; основные теоремы об определителях - теорема единственности, теорема существования, теорема симметрии. Определитель Вандермонда. Определитель полураспавшейся матрицы. Определитель произведения матриц. Явное выражение определителя через элементы матрицы.
    • Обратная матрица; правило Крамера для решения систем линейных уравнений. Практический алгоритм вычисления обратной матрицы.
  • Комплексные числа
    • Формула Кардано
    • Понятие поля; построение поля комплексных чисел
    • Действия с комплексными числами
    • Корни из единицы и их приложения
  • Линейная алгебра и геометрия
    • Линейные пространства. Базис, размерность.
    • Координаты вектора. Замена координат
    • Векторная алгебра трехмерного пространства
    • Уравнения прямой и плоскости в трехмерном пространстве
    • Основные метрические задачи на прямую и плоскость
  • Квадрики на плоскости и в пространстве
    • Эллипс, гипербола, парабола
    • Упрощение уравнения 2-го порядка от двух переменных. Классификация плоских квадрик
    • Эллипсоиды, гиперболоиды, параболоиды, конусы, цилиндры

Вопросы к экзамену

  1. Матрицы и действия над ними. Свойства действий над матрицами.
  2. Аксиомы определителя и их следствия.
  3. Теорема единственности определителя.
  4. Теорема существования определителя.
  5. Теорема симметрии.
  6. Определитель полураспавшейся матрицы.
  7. Определитель произведения двух матриц.
  8. Определитель Вандермонда. Приложение к вычислению циркулянтов.
  9. Обратная матрица и ее нахождение.
  10. Приложение обратной матрицы к решению систем линейных уравнений. Формулы Крамера.
  11. Алгоритм вычисления обратной матрицы и его обоснование.
  12. Выражение определителя через его элементы.
  13. Формула Кардано.
  14. Конструкция поля комплексных чисел.
  15. Сопряженные комплексные числа. Модуль и аргумент комплексного числа. Тригонометрическая форма записи комплексного числа. Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме.
  16. Формула Муавра. Извлечение корня из комплексного числа.
  17. Корни из единицы и их свойства. Приложение к вычислению циркулянтов.
  18. Аксиомы линейного пространства. Линейная зависимость. Лемма о правом крайнем. Геометрический смысл линейной зависимости в трехмерном пространстве.
  19. Системы образующих и базисы. Теорема о существовании базиса.
  20. Теорема о равномощности базисов. Размерность пространства. Теорема о продолжении.
  21. Координаты вектора. Связь координат в разных базисах. Критерий равенства определителя нулю.
  22. Скалярное произведение в трехмерном пространстве. Свойства скалярного произведения. Скалярное произведение в координатах.
  23. Векторное и смешанное произведения в трехмерном пространстве. Теорема о смешанном произведении.
  24. Свойства векторного произведения. Векторное и смешанное произведения в координатах.
  25. Основная теорема об уравнении прямой на плоскости.
  26. Основная теорема об уравнении плоскости.
  27. Прямая в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости. Взаимное расположение двух прямых.
  28. Основные метрические задачи на прямую и плоскость.
  29. Эллипс. Вывод канонического уравнения, директориальное свойство.
  30. Гипербола. Вывод канонического уравнения, директориальное свойство.
  31. Парабола. Вывод канонического уравнения.
  32. Преобразование координат на плоскости. Формулы преобразования координат при переносе начала координат и при повороте.
  33. Упрощение уравнения 2-го порядка от двух переменных. Случай центральной квадрики.
  34. Упрощение уравнения 2-го порядка от двух переменных. Случай нецентральной квадрики.
  35. Эллипсоиды, гиперболоиды, параболоиды. Исследование их формы с помощью метода сечений.

Контрольные вопросы по прочитанным лекциям

  • Действия над матрицами
  1. Показать, что для каждой матрицы А существует такая матрица В, что А+В=0. (Такая матрица называется противоположной матрице А.)
  2. Привести пример двух ненулевых матриц, произведение которых равно нулю.
  3. Следом квадратной матрицы называется сумма элементов, стоящих на ее главной диагонали. Проверить, что если А и В - квадратные матрицы одинакового размера, то след АВ равен следу ВА. Верен ли аналогичный результат, если А и В - такие прямоугольные матрицы, что оба произведения АВ и ВА существуют?
  4. Квадратная матрица называется симметрической, если она совпадает со своей транспонированной. Доказать, что произведение любой матрицы (не обязательно квадратной) на ее транспонированную есть симметрическая матрица.
  5. Квадратная матрица называется кососимметрической, если она противоположна своей транспонированной. Доказать, что любую квадратную матрицу можно представить в виде суммы некоторой симметрической матрицы и некоторой кососимметрической матрицы, причем единственным образом.
  6. Квадратные матрицы А и В одинакового размера называются перестановочными, если АВ=ВА. Доказать, что произведение двух симметрических матриц будет симметрической матрицей тогда и только тогда, когда эти матрицы перестановочны. (Этот простой факт имеет принципиальное значение для квантовой механики.)
  7. Доказать, что квадратная матрица, перестановочная со всеми диагональными матрицами, сама является диагональной, а квадратная матрица, перестановочная со всеми матрицами, является скалярной, т.е. диагональной матрицей, у которой все элементы главной диагонали одинаковы.
  • Определители
  1. Алиса и Боб по очереди заполняют числами матрицу 2х2. Алиса (которая ходит первой) хочет добиться, чтобы определитель получившейся матрицы был отличен от 0, а Боб хочет добиться, чтобы этот определитель был равен 0. У кого из игроков есть выигрышная стратегия? А если Алиса хочет, чтобы получился нулевой определитель, а Боб - чтобы получился определитель, отличный от 0? Те же вопросы для матрицы 3х3. (Предостережение: для 3х3-матриц задача уже нетривиальна.)
  2. Пусть определитель nxn-матрицы A равен d. Чему равен определитель матрицы kА?
  3. nxn-матрица называется матрицей Адамара, если произведение этой матрицы на ее транспонированную равно nE. (На лекции были приведены конкретные примеры матриц Адамара для случая, когда n есть степень двойки.) Чему равен определитель матрицы Адамара?
  4. (Теорема Гамильтона-Кэли) Пусть А - 2х2-матрица, s - ее след, а d - ее определитель. Проверить, что А^2-sA+dE=0.
  5. Через tr(A) обозначается след матрицы А. Доказать, что удвоенный определитель 2х2-матрицы А равен tr(A)^2-tr(A^2).
  6. Привести пример 4х4-матрицы, определитель которой не равен ad-bc, где a - определитель верхнего левого 2х2-блока, b - определитель верхнего правого 2х2-блока, c - определитель нижнего левого 2х2-блока, d - определитель нижнего правого 2х2-блока.
  7. Доказать, что для любой 3х3-матрицы среди 6 слагаемых в явном выражении определителя этой матрицы через ее элементы обязательно найдутся числа разных знаков.
  8. Доказать, что определитель кососимметрической матрицы нечетного порядка равен 0.
  9. Пусть в nxn-матрице А есть такие s строк и t столбцов, что все элементы, стоящие на их пересечении, равны 0 и s+t>n. Доказать, что определитель матрицы А равен 0.
  10. (Формула Бине-Коши) Пусть А есть nxk-матрица, а В - kxn-матрица. Тогда произведение АВ есть nxn-матрица. Доказать, что определитель матрицы AB равен нулю, если k<n, и равен сумме попарных произведений соответствующих друг другу миноров порядка n, если k>n. (Cумма берется по всем наборам столбцов матрицы A и строк матрицы B с возрастающими номерами i_1<i_2<...<i_n; миноры матриц A и B порядка n называются соответствующими друг другу, если они стоят в столбцах матрицы A и строках матрицы B с одинаковыми номерами.)
  11. (Теорема Лапласа) Пусть М - минор квадратной матрицы А. Его алгебраическим дополнением называется определитель подматрицы, полученной вычеркиванием строк и столбцов, в которых стоит М, если сумма номеров этих строк и столбцов четна, и тот же определитель, взятый со знаком "минус", если эта сумма нечетна. Доказать, что для любого набора строк матрицы А ее определитель равен сумме произведений всех миноров, заключенных в данных строках, на их алгебраические дополнения.
  • Обратная матрица
  1. Пусть А - обратимая матрица. Доказать, что транспонированная матрица А^t обратима и матрица, обратная к А^t, получается транспонированием из матрицы, обратной к А.
  2. Пусть А и В - обратимые матрицы. Доказать, что матрица АВ обратима и матрица, обратная к АВ, равна произведению матрицы, обратной к В, на матрицу, обратную к А.
  3. Доказать, что матрица, обратная к верхнетреугольной матрице, сама является верхнетреугольной.
  4. Пусть определитель матрицы А равен d. Найти определитель присоединенной к А матрицы.
  5. Доказать, что при перестановке двух строк матрицы в присоединенной матрице происходит такая же перестановка столбцов и все элементы присоединенной матрицы меняют знак.
  6. Доказать, что матрица, присоединенная к АВ, равна произведению матрицы, присоединенной к В, на матрицу, присоединенную к А. (Указание - сначала докажите это свойство для невырожденных матриц, а потом представьте произвольную матрицу в виде предела невырожденных и воспользуйтесь тем, что определитель есть непрерывная функция элементов матрицы.)
  • Комплексные числа
  1. Доказать, что коммутативность сложения можно вывести из остальных аксиом поля. (Предостережение: задача весьма нетривиальна.)
  2. Доказать, что модуль суммы двух комплексных чисел не превосходит суммы их модулей.
  3. Квадратная матрица над полем комплексных чисел называется эрмитовой, если каждый ее элемент сопряжен с элементом, симметричным ему относительно главной диагонали. Доказать, что определитель эрмитовой матрицы - действительное число.
  4. Найти сумму k-х степеней всей корней n-й степени из 1.
  5. Найти произведение всех корней n-й степени из 1.
  • Линейные пространства
  1. Доказать, что коммутативность сложения можно вывести из остальных аксиом линейного пространства. (Предостережение: задача нетривиальна.)
  2. Доказать, что базис пространства можно определить как максимальную линейно независимую систему или как минимальную систему образующих.
  3. Вычислить размерность пространства всех симметрических nxn-матриц.
  4. Пусть в пространстве имеются три базиса, Т - матрица перехода от 1-го базиса ко 2-му, а S - матрица перехода от 2-го базиса к 3-му. Найти матрицу перехода от 1-го базиса к 3-му.
  • Векторная алгебра трехмерного пространства
  1. Матрица Грама базиса е_1,е_2,е_3 - это 3х3-матрица, у которой на месте (i,j) стоит скалярное произведение e_ie_j. Доказать, что определитель матрицы Грама отличен от 0.
  2. Как связаны между собой матрицы Грама двух разных базисов?
  3. Доказать тождество Якоби [[a,b],c]+[[b,c],a]+[[c,a],b]=0.
  4. Пусть е_1,е_2,е_3 - базис. Доказать, что вектора [е_1,е_2], [е_3,е_1], [е_2,е_3] также образуют базис. (Указание - эту задачу можно решать разными способами, но довольно поучительно перейти к координатам.)
  • Уравнения прямой и плоскости в трехмерном пространстве
  1. Исследовать взаимное расположение трех прямых на плоскости. (Здесь и далее под словом "исследовать" понимается следующее: указать условия на коэффициенты уравнений, отвечающие различным с геометрической точки зрения вариантам взаимного расположения задаваемых этими уравнениями объектов).
  2. Исследовать взаимное расположение трех плоскостей в пространстве.
  3. На плоскости даны три параллельные прямые с уравнениями Ax+By+C=0, Ax+By+D=0, Ax+By+E=0. Указать необходимое и достаточное условие, при котором вторая прямая проходит между первой и третьей.
  4. В пространстве даны три параллельные плоскости с уравнениями Ax+By+Cz+D=0, Ax+By+Cz+E=0, Ax+By+Cz+F=0. Указать необходимое и достаточное условие, при котором вторая плоскость проходит между первой и третьей.
  5. В пространстве даны две параллельные плоскости с уравнениями Ax+By+Cz+D=0, Ax+By+Cz+E=0 и прямая с уравнением x=x_0+mt,y=y_0+nt, z=z_0+pt. Указать необходимое и достаточное условие, при котором прямая расположена между плоскостями.
  • Эллипс, гипербола, парабола
  1. Доказать, что площадь эллипса с полуосями a и b больше чем 2ab, но меньше чем 4ab. (На самом деле эта площадь равна πab, но доказать это элементарными средствами сложно.)
  2. Доказать, что у параболы нет асимптот.
  3. Доказать, что произведение расстояний от любой точки гиперболы до ее асимптот есть величина постоянная.
  4. Найти длину отрезков (считая от центра гиперболы), отсекаемых директрисами гиперболы от на ее асимптотах.
  5. Доказать, что директриса гиперболы проходит через проекции соответствующего ей фокуса на любую асимптоту.
  6. Найти расстояние от фокуса гиперболы до ее асимптоты.
  7. (Шары Данделена) Круговой конус рассечён плоскостью, не проходящей через центр конуса. В него вписаны две сферы, касающиеся поверхности конуса и секущей плоскости, как показано на рисунке Шары Данделена. Доказать, что точки F и F', в которых сферы касаются секущей плоскости, служат фокусами эллипса, получающегося в сечении.

Литература для дополнительного чтения

Смотрите также: