Фундаментальная и компьютерная алгебра

Последнее изменение: 29/03/2017 14:55:11

Основной курс для потока КН/КБ второго курса. В осеннем семестре 2012/13 учебного года читается по средам с 9:00 в ауд. 632.

Учебники

  • А. И. Мальцев. Основы линейной алгебры.
  • Д. К. Фаддеев. Лекции по алгебре.

Литература для дополнительного чтения

Краткое содержание курса

  • Общая теория систем линейных уравнений
    • Подпространства. Операции над подпространствами. Прямые суммы
    • Теорема о ранге матрицы. Вычисление ранга
    • Теорема Кронекера-Капелли
    • Пространство решений однородной системы. Фундаментальная система решений
  • Линейные операторы, жорданова теория одного линейного оператора
    • Ядро и образ линейного оператора, теорема о сумме ранга и дефекта, алгоритм одновременного вычисления ядра и образа
    • Матрица оператора, изменение матрицы при замене базиса
    • Собственные числа и собственные значения линейного оператора. Линейные операторы простой структуры
    • Разложение Фиттинга. Корневое разложение. Теорема о корневом разложении.
    • Теорема о минимальном многочлене. Теорема Гамильтона-Кэли
    • Жорданов базис нильпотентного оператора
    • Теорема Жордана
  • Евклидовы и унитарные пространства
    • Свойства скалярного произведения, неравенство Коши-Буняковского
    • Ортогональные базисы, процесс ортогонализации Грама-Шмидта
    • Ортогональные дополнения
  • Линейные операторы в евклидовых и унитарных пространствах
    • Строение линейного функционала в унитарном (евклидовом) пространстве
    • Сопряженный оператор. Матрица сопряженного оператора
    • Нормальный оператор. Теорема о строении нормального оператора.
    • Унитарные и ортогональные операторы.
    • Самосопряженные операторы.
    • Неотрицательные самосопряженные операторы. Квадратные корни из неотрицательных самосопряженных операторов.
    • Полярное разложение оператора на унитарном (евклидовом) пространстве

Контрольные вопросы по прочитанным лекциям

  • Общая теория систем линейных уравнений
  1. Доказать, что объединение двух подпространств будет подпространством тогда и только тогда, когда одно из этих подпространств содержится в другом.
  2. Может ли объединение трех попарно несравнимых подпространств быть подпространством? (Указание: рассмотрите двумерное пространство над двухэлементным полем.)
  3. Доказать, что для операций пересечения и суммы подпространств, вообще говоря, не выполняется дистрибутивный закон.
  4. Доказать, что для операций пересечения и суммы подпространств выполняется так называемый модулярный закон: если подпространство А содержит подпространство В, то для любого подпространства С пересечение А с суммой В+С равно сумме В и пересечения А с С.
  5. Доказать, что произвольная матрица ранга r представима в виде суммы r матриц ранга 1.
  6. Доказать, что элементарные преобразования над строками nxs-матрицы A равносильны умножению матрицы A на подходящие nxn-матрицы слева, а элементарные преобразования над столбцами - умножению на подходящие sxs-матрицы справа.
  7. Доказать, что для системы линейных уравнений следующие условия эквивалентны:
    • система имеет единственное решение;
    • ранг основной матрицы равен числу неизвестных;
    • ранг расширенной матрицы равен числу неизвестных.
  8. (Принцип наложения решений) Доказать, что если вектор y - решение системы линейных уравнений Ax=b, а вектор z - решение системы линейных уравнений Ax=c, то вектор y+z будет решением системы линейных уравнений Ax=b+c.
  9. Доказать, что вектор y - какое-то решение системы линейных уравнений Ax=b, то любое решение этой системы можно представить в виде y+z, где вектор z - решение однородной системы Ax=0.
  10. Пусть квадратная матрица А такова, что система линейных уравнений Ax=b имеет решение при любой правой части b. Доказать, что тогда эта система имеет единственное решение при каждой правой части. (Указание: воспользуйтесь теоремой о сумме ранга и дефекта.)
  • Линейные операторы, жорданова теория одного линейного оператора
  1. Докажите, что для операций сложения и умножения линейных операторов выполняются законы дистрибутивности: А(В+С)=АВ+АС, (А+В)С=АС+ВС.
  2. Какова размерность пространства всех линейных операторов из данного n-мерного пространства в данное k-мерное пространство?
  3. (Неравенство Сильвестера) Пусть А - линейный оператор, принимающий значения в некотором n-мерном пространстве L, а В - линейный оператор, определенный на L. Доказать, что ранг оператора АВ не меньше r(A)+r(B)-n. (Указание: примените теорему о сумме ранга и дефекта к ограничению оператора В на пространство Im(A).)
  4. Докажите, что если матрица линейного оператора на пространстве L не зависит от выбора базиса в L, то действие оператора состоит в умножении каждого вектора пространства а фиксированный скаляр (в геометрии такой оператор называют гомотетией).
  5. Что представляет собой линейный оператор, для которого каждый ненулевой вектор пространства является собственным?
  6. Доказать, что если у линейного оператора на n-мерном пространстве есть n различных собственных значений, то все его корневые пространства одномерны.
  7. Два оператора А и В называются перестановочными, если АВ=ВА. Докажите, что у перестановочных операторов, действующих на n-мерном комплексном пространстве, есть общий собственный вектор.
  8. Известно, что некоторая степень линейного оператора, действующего на n-мерном комплексном пространстве, равна единичному оператору. Докажите, что этот оператор диагонализируем. Верно ли аналогичное утверждение для операторов, действующих на n-мерном действительном пространстве?
  9. Доказать, что каждая комплексная nxn-матрица подобна своей транспонированной матрице. (Указание: сначала докажите утверждение для случая, когда матрица находится в нормальной жордановой форме.)
  10. Доказать, что все нильпотентные nxn-матрицы ранга 1 подобны между собой.
  11. Укажите жорданов базис для оператора двухкратного дифференцирования на пространстве всех действительных многочленов степени не выше n.
  12. Докажите, что у жордановой клетки минимальный многочлен совпадает с характеристическим. Что можно сказать о нормальной жордановой форме линейного оператора, у которого минимальный многочлен совпадает с характеристическим?
  13. У жордановой клетки все единички над главной диагональю заменили двойками. Докажите, что получившаяся матрица подобна исходной жордановой клетке.
  • Евклидовы и унитарные пространства. Линейные операторы в евклидовых и унитарных пространствах
  1. Докажите теорему Пифагора в произвольном евклидовом или унитарном пространстве. Верно ли утверждение, обратное к теореме Пифагора, в произвольном евклидовом или унитарном пространстве?
  2. Пусть для оператора А имеется сопряженный оператор А*, т.е. оператор, удовлетворяющий условию (xA,y)=(x,yA*) для любых векторов x и y. Докажите, что оператор А необходимо должен быть линейным.
  3. Докажите, что если все собственные значения нормального оператора А по модулю равны единице, то А - унитарный оператор. Верно ли это утверждение для произвольного оператора?
  4. Докажите, что если все собственные значения нормального оператора А - действительные числа, то А - самосопряженный оператор. Верно ли это утверждение для произвольного оператора?
  5. Оператор А в евклидовом или унитарном пространстве называется кососимметрическим, если А*=-А. Докажите, что все собственные значения кососимметрического оператора - чисто мнимые числа.
  6. Докажите, что кососимметрический оператор нормален. К какому простейшему виду можно привести матрицу кососимметрического оператора в унитарном пространстве? В евклидовом пространстве?
  7. Докажите, что любой оператор в евклидовом или унитарном пространстве можно представить в виде суммы самосопряженного оператора и кососимметрического оператора.
  8. Докажите, что произведение двух самосопряженных операторов будет самосопряженным тогда и только тогда, когда эти операторы перестановочны. Что можно сказать о произведении двух перестановочных кососимметрических операторов?
  9. Докажите, что произведение двух унитарных операторов снова будет унитарным оператором.
  10. Докажите, что если в полярном разложении оператора самосопряженный и унитарный множители перестановочны, то оператор нормален.

Вопросы к экзамену

Результаты экзаменов
Группа Отлично Хорошо Удовлетв. Неудовл. Не аттест. Всего
КБ-101 2 4 6 2 1 15
КН-101   3 7 2 5 17
КН-102 2 4 2 5 3 16
Поток 4 11 15 9 9 48

Пересдача состоится 1 февраля с 9:00 на кафедре алгебры (ауд. 607)

Смотрите также: