Фундаментальная и компьютерная алгебра

Последнее изменение: 20/03/2015 00:00:00

Основной курс для потока КН/КБ первого курса. В весеннем семестре 2011/12 учебного года читается по средам с 9:00 в ауд. 532.

Отчетность по курсу

Действующим учебным планом в весеннем семестре в качестве отчетности предусмотрен зачет по материалу практических занятий. Его будут проводить преподаватели, ведшие практические занятия по курсу "Фундаментальная и компьютерная алгебра".

Студенты, желающие отчитаться и по теоретическому материалу весеннего семестра, получат такую возможность в день сдачи зачета при условии успешной отчетности по практическому материалу. Такие студенты должны будут ответить на один из вопросов из прилагаемого списка. Если студент успешно ответит на доставшийся ему вопрос, то в зимнюю сессию 2012/13 учебного года на экзамене по алгебре ему будет достаточно ответить только на второй (из двух содержащихся в билете) теоретический вопрос.

Студенты, отчитавшиеся по теоретическому материалу:

  1. Венско Ксения (КБ-101)
  2. Горин Павел (КН-101)
  3. Десятников Артем (КН-102)
  4. Заец Артем (КН-102)
  5. Захаров Алексей (КН-101)
  6. Маценко Ольга (КБ-101)
  7. Штех Геннадий (КН-101)

Вопросы к теоретической части зачета:

  1. Эллипс. Вывод канонического уравнения, директориальное свойство.
  2. Гипербола. Вывод канонического уравнения, директориальное свойство.
  3. Парабола. Вывод канонического уравнения.
  4. Упрощение уравнения 2-го порядка от двух переменных. Случай центральной квадрики.
  5. Упрощение уравнения 2-го порядка от двух переменных. Случай нецентральной квадрики.
  6. Инварианты. Классификация плоских квадрик с помощью инвариантов.
  7. Эллипсоиды, гиперболоиды, параболоиды. Исследование их формы с помощью метода сечений.
  8. Конус, цилиндры.
  9. Упрощение уравнения 2-го порядка от трех переменных.
  10. Инварианты. Классификация пространственных квадрик с помощью инвариантов.
  11. Кольцо многочленов. Теорема о делении с остатком в кольце многочленов над полем.
  12. Основные понятия теории делимости. Отношение ассоциированности.
  13. Евклидовы кольца. Евклидовость кольца целых гауссовых чисел.
  14. Теорема о наибольшем общем делителе в евклидовых кольцах. Алгоритм Евклида.
  15. Существование и однозначность разложения на неразложимые множители в евклидовых кольцах.
  16. Поле частных области.
  17. Лемма Гаусса и ее следствия.
  18. Однозначность разложения на неприводимые многочлены в кольце многочленов над областью с однозначным разложением.
  19. Неприводимые многочлены с целыми коэффициентами. Критерий Эйзенштейна.
  20. Многочлены как функции. Определяемость многочлена n-й степени значениями в n+1 точке. Интерполяционный многочлен Лагранжа.
  21. Теорема Безу. Корни многочлена. Кратные корни. Число корней многочлена n-й степени.
  22. Производная многочлена. Характеристика поля. Отделение кратных корней.
  23. Поле разложения многочлена.
  24. Симметрические многочлены. Формулы Виета. Основная теорема о симметрических многочленах.
  25. Лемма о модуле старшего члена. Основная теорема алгебры комплексных чисел. Классификация неприводимых многочленов над полями комплексных и действительных чисел.
  26. Последовательность Штурма. Теорема Штурма. Алгоритм построения последовательности Штурма.

Литература для дополнительного чтения

Краткое содержание курса

  • Квадрики на плоскости и в пространстве
    • Эллипс, гипербола, парабола
    • Упрощение уравнения 2-го порядка от двух переменных. Классификация плоских квадрик
    • Инварианты. Определение типа плоской квадрики с помощью инвариантов
    • Эллипсоиды, гиперболоиды, параболоиды, конусы, цилиндры
    • Упрощение уравнения 2-го порядка от трех переменных. Классификация пространственных квадрик
    • Инварианты. Определение типа пространственной квадрики с помощью инвариантов
  • Многочлены
    • Понятие кольца и области
    • Кольцо многочленов. Теорема о делении с остатком в кольце многочленов над полем
    • Основные понятия теории делимости. Отношение ассоциированности.
    • Евклидовы кольца. Евклидовость кольца целых гауссовых чисел
    • Теорема о наибольшем общем делителе в евклидовых кольцах. Алгоритм Евклида
    • Существование и однозначность разложения на неразложимые множители в евклидовых кольцах
    • Поле частных области
    • Кольцо многочленов над областью с однозначным разложением. Лемма Гаусса и ее следствия
    • Однозначность разложения на неприводимые многочлены в кольце многочленов над областью с однозначным разложением
    • Неприводимые многочлены с целыми коэффициентами. Критерий Эйзенштейна
    • Многочлены как функции. Определяемость многочлена n-й степени значениями в n+1 точке. Интерполяционный многочлен Лагранжа
    • Теорема Безу. Корни многочлена. Кратные корни. Число корней многочлена n-й степени
    • Производная многочлена. Характеристика поля. Отделение кратных корней
    • Поле разложения многочлена
    • Симметрические многочлены. Формулы Виета. Основная теорема о симметрических многочленах
    • Решение уравнения 4-й степени. Резольвента Феррари. Резольвента Эйлера
    • Лемма о модуле старшего члена. Основная теорема алгебры комплексных чисел. Классификация неприводимых многочленов над полями комплексных и действительных чисел
    • Последовательность Штурма. Теорема Штурма. Алгоритм построения последовательности Штурма

Контрольные вопросы по прочитанным лекциям

  • Эллипс, гипербола, парабола
  1. Доказать, что площадь эллипса с полуосями a и b больше чем 2ab, но меньше чем 4ab. (На самом деле эта площадь равна πab, но доказать это элементарными средствами сложно.)
  2. Доказать, что у параболы нет асимптот.
  3. Доказать, что произведение расстояний от любой точки гиперболы до ее асимптот есть величина постоянная.
  4. Найти длину отрезков (считая от центра гиперболы), отсекаемых директрисами гиперболы от на ее асимптотах.
  5. Доказать, что директриса гиперболы проходит через проекции соответствующего ей фокуса на любую асимптоту.
  6. Найти расстояние от фокуса гиперболы до ее асимптоты.
  7. Какие поверхности второго порядка могут одновременно удовлетворять таким двум условиям: у поверхности есть прямолинейная образующая; одним из плоских сечений поверхности является окружность?
  8. (Шары Данделена) Круговой конус рассечён плоскостью, не проходящей через центр конуса. В него вписаны две сферы, касающиеся поверхности конуса и секущей плоскости, как показано на рисунке Шары Данделена. Доказать, что точки F и F', в которых сферы касаются секущей плоскости, служат фокусами эллипса, получающегося в сечении.
  • Многочлены
  1. Как узнать, приводим ли над полем комплексных чисел многочлен второй степени от двух неизвестных с действительными коэффициентами? (Совет: приравняйте многочлен к нулю и взгляните на получившееся уравнение как на уравнение квадрики.)
  2. Известно, что у некоторого многочлена n-й степени с действительными коэффициентами ровно n действительных корней и все корни различны. Доказать, что у его производной ровно n-1 действительных корней и все корни различны.
  3. Многочлен с действительными коэффициентами принимает целые значения во всех целых точках. Следует ли отсюда, что его коэффициенты целые числа? рациональные числа?
  4. Доказать, что у многочлена, неприводимого над кольцом целых чисел, не может быть кратных комплексных корней.

Смотрите также: